点是组成物体的最基本的几何元素因此,研究形体的投影问题应从点开始.点在立体上常以三直线(或三平面)相交的交点形式出现,如图2—8中立体上A、B、C、D、E、F、G、H都是三条直线的交点。
一、 点在三投影面体系中的投影
（一）三投影面体系的建立
在工程图中，为清楚地的反映物体的形状，常采用三面投影图。如图2—9a所示，三个互相垂直的投影面：正立投影面（简称正面）、水平投影面H（简称水平面）和侧立投影面W（简称侧面），组成了三面投影体系，其投影面之间的交线称为投影轴。V面与H面的交线为OX轴，V面与W面的交线为OZ轴，H面与W面的交线为OY轴，三轴OX、OY、OZ必定互相垂直。
（二）点在三投影面体系中的投影
如图2—9a所示，将窨点A分别向H、V、W面进行投影，得到水平投影a、正面投影
和侧面投影
。三投影面展开在同一平面上的方法是V面固定不动，湍OY轴将H面、W面分开，H面向下旋转，W面向左右旋转使三个投影面展成一个面。点A的三个投影随投影面展开后，如图2—9b所示。这时，OY轴分别成H面上的OY和W面上的OY。同样，也可以将投影面的框线和名称省略，形成如图2—9c所示的点的三面投影图。
（三） 坐标和三面投影规律
如把三投诚同体系看作窨直角坐标体系，则H、V、W面为坐标停琌X、OY、OZ轴为坐标轴，点O为坐标原点。由图2—9可知，点A的直角坐标
、
、
即为点A到三个坐标面的距离，且与点A的投影a、
、
的关系如下：
a＂=
由此可知：
a由
，即点AR
两坐标决定；
,即点A的
两坐标决定。
所以空间点A（
，Z
）在三投影面体系中有唯一确定的一组投影a、a′、a″。反之，如已知点A 的一组投影a、a′、a″即可确定该点的坐标值，g确定其空间位置。根据以上分析，可以得出点在三投影面体系中的投影规律：
1.点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴；这两个投影到OZ轴和OY轴的距离相等，都反映空间点的X坐标，即a′a⊥OX轴，a
a′=a
a=x
。
2.点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴；这两个投影各到OX轴和OY轴的距离相等，都反映空间点的Z坐标，即a′a″⊥OZ轴，a
a′= a
a″=z
。
3.点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离相等，都反映空间点的y坐标，即a″a⊥OY轴，a
a= a
a″=y
。
如图2-9c，由于在H面投影中的Oa
=在W面投影中的Oa
，作图时可过点O作直角∠YOY的角平分线，它与两条轴线OY都成45°，从a引H面投影中的OY轴的垂线与角平分线相交与一点，再从该点作W面投影中的OY轴的垂线，并延长，使与从a′引出的OZ轴的垂线相交，其交点即为a″。
由于点的两个投影就能确定点的三个坐标值，也就能确定点的空间位置，所以只要已知点的两个投影就能作出它的第三个投影。
（四）特殊位置点的投影
有时，空间点在投影面上或投影轴上，称之为特殊位置的点。如图2-10所示。点B位于V面上，其三面投影为:b′与B重合（y
=0），b在OX轴上，b″在OZ 轴上。点C位于H面上，其三面投影为：c与C重合（z
=0），c′在OX轴上，c″在OY轴上。点D在OX轴上，其三面投影为：d和d′都与D重合（y
=0，z
=0），d″与原点O重合。综上所述可得出特殊位置点的投影特性为：
（1）投影面上的点必有一个坐标为零，在该投影面上的投影与该点自身重合；在另外两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。
（2）投影轴上点必有两个坐标为零，在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合；在另一投影面上的投影则与原点O重合。
[例2-1] 如图2-11a所示，已知点B的正面投影b′及侧面投影bd，试求其水平投影 b。
分析 已知B的正面投影b′及侧面投影b″，则点B的空间位置已经确定，因此，可作出其水平投影b。
作图步骤（如图2-11b）所示：
（1）作∠YOY的角平分线。
（2）过b″作W面d影中的OY的垂线使与角平分线相交，自交点作H面投影中的OY的垂线，与过b′所作OX的垂线相交，即得b。
[例2-2] 已知点A（15，10，20），求作三面投影图。
分析 由A （15，10，20）可知，点A与三个投影面均有距离，即点A是既不在投影面上、也不在投影轴上的一般点。
作图步骤（如图2-12所示）：
（1）画出投影轴并标记
（2）在OX轴上取O a
=15，得a
，见图2-12a。
（3）过a
作OX轴的垂线，并在此垂线上取a
a′=20，得a′；取a
a=10，得a，见图2-12b。
（4）作∠YOY的角平分线。过a作H面投影中的OY的垂线使其与角平分线相交，自交点作W面投影中的OY的垂线，与过a′作OZ的垂线交于a″，即得点A的三面投影，见图2-12c。
