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机械制图教程—2-2点的投影

2021-11-28    作者:未知    来源:网络文摘

     点是组成物体的最基本的几何元素因此,研究形体的投影问题应从点开始.点在立体上常以三直线(或三平面)相交的交点形式出现,如图2—8中立体上A、B、C、D、E、F、G、H都是三条直线的交点。
一、  点在三投影面体系中的投影
(一)三投影面体系的建立
     在工程图中,为清楚地的反映物体的形状,常采用三面投影图。如图2—9a所示,三个互相垂直的投影面:正立投影面(简称正面)、水平投影面H(简称水平面)和侧立投影面W(简称侧面),组成了三面投影体系,其投影面之间的交线称为投影轴。V面与H面的交线为OX轴,V面与W面的交线为OZ轴,H面与W面的交线为OY轴,三轴OX、OY、OZ必定互相垂直。
(二)点在三投影面体系中的投影
    如图2—9a所示,将窨点A分别向H、V、W面进行投影,得到水平投影a、正面投影和侧面投影。三投影面展开在同一平面上的方法是V面固定不动,湍OY轴将H面、W面分开,H面向下旋转,W面向左右旋转使三个投影面展成一个面。点A的三个投影随投影面展开后,如图2—9b所示。这时,OY轴分别成H面上的OY和W面上的OY。同样,也可以将投影面的框线和名称省略,形成如图2—9c所示的点的三面投影图。
(三) 坐标和三面投影规律
如把三投诚同体系看作窨直角坐标体系,则H、V、W面为坐标停琌X、OY、OZ轴为坐标轴,点O为坐标原点。由图2—9可知,点A的直角坐标即为点A到三个坐标面的距离,且与点A的投影a、的关系如下:
                a"=
                
*             
 由此可知:
  a由,即点AR 两坐标决定;
*,即点A的两坐标决定;
,即点A的两坐标决定。
所以空间点A(,Z)在三投影面体系中有唯一确定的一组投影a、a′、a″。反之,如已知点A 的一组投影a、a′、a″即可确定该点的坐标值,g确定其空间位置。根据以上分析,可以得出点在三投影面体系中的投影规律:
    1.点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴;这两个投影到OZ轴和OY轴的距离相等,都反映空间点的X坐标,即a′a⊥OX轴,aa′=aa=x
2.点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴;这两个投影各到OX轴和OY轴的距离相等,都反映空间点的Z坐标,即a′a″⊥OZ轴,aa′= a a″=z
3.点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离相等,都反映空间点的y坐标,即a″a⊥OY轴,aa= aa″=y
如图2-9c,由于在H面投影中的Oa=在W面投影中的Oa,作图时可过点O作直角∠YOY的角平分线,它与两条轴线OY都成45°,从a引H面投影中的OY轴的垂线与角平分线相交与一点,再从该点作W面投影中的OY轴的垂线,并延长,使与从a′引出的OZ轴的垂线相交,其交点即为a″。
由于点的两个投影就能确定点的三个坐标值,也就能确定点的空间位置,所以只要已知点的两个投影就能作出它的第三个投影。
(四)特殊位置点的投影
有时,空间点在投影面上或投影轴上,称之为特殊位置的点。如图2-10所示。点B位于V面上,其三面投影为:b′与B重合(y=0),b在OX轴上,b″在OZ 轴上。点C位于H面上,其三面投影为:c与C重合(z=0),c′在OX轴上,c″在OY轴上。点D在OX轴上,其三面投影为:d和d′都与D重合(y=0,z=0),d″与原点O重合。综上所述可得出特殊位置点的投影特性为:
(1)投影面上的点必有一个坐标为零,在该投影面上的投影与该点自身重合;在另外两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。
(2)投影轴上点必有两个坐标为零,在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合;在另一投影面上的投影则与原点O重合。
[例2-1]  如图2-11a所示,已知点B的正面投影b′及侧面投影bd,试求其水平投影 b。
分析    已知B的正面投影b′及侧面投影b″,则点B的空间位置已经确定,因此,可作出其水平投影b。
作图步骤(如图2-11b)所示:
(1)作∠YOY的角平分线。
(2)过b″作W面d影中的OY的垂线使与角平分线相交,自交点作H面投影中的OY的垂线,与过b′所作OX的垂线相交,即得b。
[例2-2]  已知点A(15,10,20),求作三面投影图。
分析   由A (15,10,20)可知,点A与三个投影面均有距离,即点A是既不在投影面上、也不在投影轴上的一般点。
作图步骤(如图2-12所示):
(1)画出投影轴并标记
(2)在OX轴上取O a=15,得a,见图2-12a。
(3)过a作OX轴的垂线,并在此垂线上取a a′=20,得a′;取a a=10,得a,见图2-12b。
(4)作∠YOY的角平分线。过a作H面投影中的OY的垂线使其与角平分线相交,自交点作W面投影中的OY的垂线,与过a′作OZ的垂线交于a″,即得点A的三面投影,见图2-12c。
该文章所属专题:机械制图教程
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