3.1 控制系统的分析
在控制技术的应用与研究中，会遇到两类问题。一类是已知一个确定的控制系统，需要对它的工作特性进行了解，解决这类问题的过程称为控制系统分析。另一类问题是根据应用需要，先确定控制系统的性能指标，要求设计出一>能达到性能要求的控制系统，解决这类问题的过程称为控制系统的设计或综合。分析与综合是进行方向相反的两个过程，但又是相辅相成、不可分割的。实际上，在控制系统的设计中，要设计一个合格的系统，常常要经历设计---分析---再设计的过程，直至达到满意的结果。分析是控制系,的研究基础。掌握控制系统分析的基本方法是十分必要的。
控制系统的分析方法，有时域法和频域法两类。图3.1表示一个控制系统。x(t)是输入信号，y(t)是输出信号，称为系统对输入信号x(t)的响应。这两种分析方法的基本出发点，都是根据系统对特定输入信号的响应来推断控制系统的特性。
图3.1 控制系统
由于控制系统的变量都是时间的函数，直接在时间域分析控制系统的品质，比较直观，物理意义明确。因此，时域法成为一种最基本的控制系统分析方法。在得到控制系统的数学模型后，求解描述系统的微分方程，即可得到系统对输入信号的响应曲线和函数，并由此确定控制系统的性质和特征。求解微分方程是时域分析的关键步骤。在此基础上才能对系统进行深入地研究，如找出系统相应的共同规律，研究参数变化对系统性能的影响，如何改进系统，提高其控制品质。
对控制系统进行分析时，为了便于相互比较，必须选择一些有代表性的输入信号，称其为典型输入信号。控制系统中，时域分析所用的典型信号有：阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数和脉冲函数。阶跃函数为
(3.1)
当
时，称为单位跃阶函数。单位跃阶函数是应用最多的一种输入信号。单位跃阶函数的拉普拉斯变换为
跃阶信号代表了瞬时突变的输入情况。斜坡函数为
(3.2)
式中v是常量，当v=1时，称为单位斜坡函数。单位肫潞数的拉普拉斯变换为
斜坡函数又称为速度函数，代表随时间线性变化的输入信号。抛物线函数为
(3.3)
式中a是常量，当a=1时，称为单位抛物线函数，其拉普拉斯变换为
抛物线函数又称为加速度函数，代表了比斜坡函数变化更快的输入信号。图3.2给出了阶跃、斜坡、抛物线三种函数的变化曲线。
图 3.2 输入函数
（a）阶跃函数（b）斜坡函数（c）抛物线函数
脉冲函数为
(3.4)
式中h是脉冲幅度，a称为脉冲宽度。在a
0,而h
时，有：
(3.5)
(3.6)
满足式（3.5）和式（3.6）的脉冲函数称为单位脉冲函数&记为：
。单位脉冲函数是一种理想脉冲函数，而式（3.4）表示的脉冲函数称为实际脉冲函数。脉冲函数如图3.3所示。
控制系统的分析，主要是对系统的稳定性，动态特性和稳态特性进行研究。不稳定的系统是不能工作的，所以必须对控制系统的稳定性进行判断并且研究影响稳定性的因素。控制系统对输入信号的响应可以分为两部分：暂态响应和稳态响应。系统从一个稳定状态变化到另一个稳定状态，由于惯性，响应不可能立即进入新的稳定状态，其间必跃历一个动态过程。系统的动态特性就是指系统在动态过程（又称过渡过程）中输出与输入间的关系。系统的动态特性，可以通过动态过程中的暂态响应来评价。对于一个稳定的控制系统，暂态响应随时间的增长将趋于零值。在t
时，系统的响应就称为稳态响应。系统的稳态性能就是系统进入稳定状态后所表现出的特性，主要靠系统的稳态响应来评价。
图3.3 脉冲函数
（a)实际脉冲函数;(b)单位脉冲函数
频域法是分析控制系统的另一种基本方法。在频域0中，根据系统对各种频率下正弦输入信号的稳态响应来研究其频域特性，并且根据频域性能指标推断系统时域特性。频域法将在下一章详细介绍。
根轨迹法也是分析控制系统的一种重要实用方法。这种方法在分析参数变化对控制系统性能的影响方面有独到之处。
