2.5 控制系统的状态空间表达式
2.5 控制系统的状态空间表达式
随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能>严格要求，传统的控制理论已不能适用。同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。
2.5.1 状态变量
在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。只要确定了这组变量在t=
时刻的值以及
时的输入函数，则系统在
任何时刻的运动状态就会全部确定。状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。
一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。若用 
表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t)的分量。我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为
分别以状态变量
作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。系统在t时刻的状态，
是状态空间的一点。系统在
时刻的状态
称为初始点，随着时间的变化，x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨
，称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。
2.5.2 状态空间表达式
1. 状态方程
由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。
对于线性系统，可以写成如下形式
(2.59)
记为
(2.60)
式中x(t)是n维列向量
u(t)是r维输入向量
A是n*n维矩阵，称为系数矩阵
B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵
若矩阵A和B的元素都是常数，则状态方程是线性定常的。若A和B中有随时间变化的元素，状态方程就是线性时变的。状态方程中不能含有x(t)的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。
对于非线性系统，状态方程可以写成如下形式
(2.61)
记为
(2.62)
式中f为向量函数。
2. 输出方程
描述系统的输出变量与状态变量和输入变量关系的方程，称为输出方程。
线性系统的输出方程具有以下形式
(2.63)
记为
(2.64)
式中y(t)为m维列向量，称输出向量 
C为m*n维矩阵，称为输出矩阵
D为m*r维矩阵，称为直接传输矩阵
线性定常系统的输出矩阵和直接传递矩阵的所有元素均为常量。
非线性系统的输出方程可表示为
(2.65)
式中g称为向函数。
输出方程中不含有变量的任何导数项。
3. 状态空间表达式
系统的状态方程和输出方程总称为系统的状态空间表达式
(2.66)
或
(2.67)
传递函数是系统输出与输入之间关系的数学描述，它所描述的系统的动态特性并不涉及系统内部各种变量的问题，是从外部看到的系统的一种整体特性，我们称其为外部特性。应该说，传递函数对系统特性的描述是不完全的。在状态空间表达式s，状态方程反映了输入对系统内部状态的影响，即输入改变了系统的状态，而输出方程则反映了状态变量对输出变量的影响，即状态改变产生了输出改变。状态空间表达式包含了系统运动的内部信息（状态）和外部信息（输出），是对系统动态特性的完整描述。
图2.35是系统状态s间表达式的结构图。图中用双线箭头表示向量信号。
图2.35 控制系统状态空间表达式的结构图
2.5.3 状态空间表达式的建立
建立控制系统的状态空间表达式，可以根据系统运动的内在机理直接建立状态方程和输出方程，也可以根据系统的微分方程，传递函数或结构图来建立。后者称为模式转换问题。
1. 由微分方程建立状态空间表达式
（1）不含输入函数倒数项的n阶线性系统。
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式
(2.68)
当 等初始值及在
时的输入函数
已知时，系统在t时刻的行为就可以完全确定。所以，可以选取
共n个变量为系统的状态变量
方程（2.68）可以写成
这就是n阶线性系统的状态方程，记为
(2.69)
式中
维矩阵
维矩阵
维矩阵
输出方程为
记为
式中
维矩阵
具有上面A矩阵形式的矩阵称为友矩阵。友矩阵的特点是主对角线右上方的元素为1，最后一行的元素可取任p值，其余元素为零。
（2）含有输入导数项的n阶线性系统
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式
(2.71)
对于这种情况p若仍按不含输入导数项的微分方程的处理办法，状态方程就会出现输入函数的导数项，这是不允许的。
我们可以这样来选取状态变量
式中
状态方程可写为
(2.72)
输出方程为
(2.73)
状态空间表达式记为
(2.74)
式中系数矩阵仍为友矩阵
维矩阵
控制矩阵为
维矩阵
输出矩阵为
维矩阵
而
因为描述线性定常系统的高阶微分方程是单输入单输出系统，所以状态方程中输入函数只有一个，输出方程中输出变量也只有一个，与其相关的矩阵形式也较为简单。
例20 某线性定常系统的微分方程为
写出其状态空间表达式。
解 先把方程变为式（2.68）的形式
设状态变量为
则状态空间表达式为
其中
例21 控制系统的微分方程为
写出其状态空间表达式。
解 这是输入函数具有导数项的微分方程。先计算：
参照式（2.72），（2.73），可得到状态方程
输出方程为
状态空间表达式为
2.由传递函数建立状态空间表达式
已知控制系统的传递函数，可以求取其拉普拉斯的反变换，得到系统的微分方程，再根据微分方程写出系统的状态空间表达式。
例22 已知控制系统的闭环传递函数为
写出其状态空间表达式。
解 先写出
对上式进行拉普拉斯反变换，得到
再计算
状态空间表达式为
其中
根据已知的传递函数，引入一个中间变量Z(s)，用下面的方法也可以建立系统的状态空间表达式。
设已知的传递函数具有下面的形式
(2.75)
引入中间变量z(s)，即令
(2.76)
其中
(2.77)
(2.78)
因而有
(2.79)
(2.80)
选取中间变量z(t)及其各阶导数为状态变量：
由（2.79）8可得到状态方程，由（2.80）式可得到输出方程
其中
维矩阵
维矩阵
维矩阵
从式（2.80）可以看出，输出变量只与m+1个状态变量有关，通常情0下m
例23 已知
将其转换为状态空间表达式。
解 设中0变量为Z(s)，则有
由此写出状态空间表达式
引入中间变量，画出结构图，根据结构图也可以写出状态空间表达式。
例24 设系统的传递函数为
(2.83)
引入中间变量，得到
(2.84)
(2.85)
根据（2.84）式可以画出系统的结构图，如图（2.36）所示。作图的过程是：先画出数目与传递函数阶次相同的积分环节，积分环节按串联连接。从最左端积分环节开始，每个积分环节的输出取作状态变量，式（2.84）的系数作为反馈回路的系数。根据结构图可以写出状态空间表达式
图2.36 控制系统的结构图
(2.86)
(2.87)
结构图中，前向通路、反馈通路的系数和状态空间表达式的A,B,C三个矩阵的元素间都有确定的对应关系。读者熟练后，可直接根据传递函数画出结构图，从而写出状态空间表达式。也可以根据状态空间表达式画出结构图，进而写出系统的传递函数。
给定一个系统的传递函数，若存在一个状态空间表达式仍保持了原传递函数的输入输出关系，我们称此传递函数是可实现的。传递函数可以实现的充分必要条件：它必须是一个真有理函数，即传递函数分母的阶次n与分子阶次m必须满足。从一个传递函数出发，用不同的方法，可以建立无穷多个状态空间表达式。所以，传递函数的实现不是唯一的。
