第四章 立体的三视图
立体可分为平面立体和曲面立体两类。如果立体表面全部由平面所围成，则称为平面立体。最基本的平面立体有棱柱和棱锥（图4—1a、b
。如果立体表面全部由曲面或由曲面与平面所围成，则称为曲面立体，最基本的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球、圆环及一般回转体等（图4—1c、d、e、f）。
在工程制图中，通常把棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球、圆环等立体称为基本几何体。
图4-1 立体的分类
（a）棱柱 （b）棱锥 （c）圆柱 （d）圆锥 （e）圆球 （f）圆环
第一节 平面立体三视图
一、棱柱的三视图
棱柱是由棱面和上、下底面围成的平面立体，相邻棱面的交线称为棱线。如图4—2所示为正六棱柱，棱线垂直于H面，顶、底两面平行于H面，前、后两棱面平行于V面。
正六棱柱三视图画图步骤如下（图4-2）：
1）用点画线画出作图基准线。其中主视图与左视图的作图基准线是正六棱柱的轴线，俯视图作图基准线是底面正六形外接圆的中心线（图4-2a）。
2）画正六棱柱的俯视图（正六边形各边为棱面的积聚性投影），并按棱柱高度在主视图和左视图上确定顶、底两个面的投影（图4-2b）。
3）根据投影关系完成各棱线、棱面的主、左视（图4-2c）。
4）按图线要求描深各图线（图4-2d）。
图4-2 正六棱柱三视图的画图步骤
二、棱锥的三视图
棱锥是由棱面和底面围成，即棱线汇交于一点（锥顶点）。如图4-3所示四棱锥底面平行于H面，四条汇交的棱线是投影面的倾斜线。
四棱锥三视图画图步骤如下（图4-3）：
1）画出作图基准线（图4-3a）。
2）确定锥顶的V、W面投影，并画出底面（矩形）的H面投影（图4-3b）。
3）根据投影关系完成各棱线、锥面的主、左视图（图4-3c）。
4）按图线要求描深各图线（图4-3d）。
图4-3 四棱锥三视图的画图步骤
第二节 平面立体切割体三视图
一、概述
平面立体被截平面切割去某些部分后的形体称为平面立体切割体（简称平面切割体）。如图4-4所示的四个形体均为平面立体切割体。
基本体被平面截切后，在它的外形上出现了一些新的表面和交线，这些交线是截平面与立体表面的共有线，因为平面立体由平面围成，所以截平面与立体表面相交的交线均为直线。由于截平面、立体表面相对于投影面的位置不同，因此所得交线的位置和投影特点也不一样，明确平面切割体上表面和交线相对于投影面的位置和投影特点是画好平面切割体的关键。
图4-4 平面立体切割体
g、 平面立体切割体三视图的画法
绘制平面立体切割体三视图时，应先作如下分析：
分析切割体被切割前的平面体是棱拄还是棱锥。
分析相对于投影面的位置以及是在立体的哪个部位上切割的。
分析被切割后立体表面上产生了哪些新的表面和交线。
分析所产生的表面和交线相对于投影面的位置和它们的投影特点是怎样的。
在以上分析的基础上进行⑻寤图，其步骤是先画基本体的三视图，再分别按截切顺序依次画出截切后所产生的各表面以及求作被截切后所产生交线的投影（包括两个截平面相交的交线的投影）。举例如下：
如图4-5A所示切割体的基本体是长方体（即四棱柱体），它的左上角被水⒚鍭和侧平面B切去；右前上方被水平面C和正平面D切去一角。各截平面与长方体表面的交线以及截平面之间的交线均为相应的投影面垂直线，交线的投影与截切后平面的投影积聚在一起。具体画图步骤如图3-10b、c、d、e所示。
图4-5 平面立体切割体画图示例
a）立体图 b） 画基本体 c）在主视图中画水平面A和侧平面B的V面投影，根据投影关系在俯、左视图中各增加一个线框 d）在左视图中画水平面C和正平面D的W面投影，根据投影关系在主，俯视图中各增加一个线框 e）描深。
第三节 曲面立体三视图
一、圆柱
圆柱是由圆柱面和上、下两端面围成，圆柱面是由直母线I-I绕和它平行的轴线OO回转而成，轴线OO称为回转轴，在圆柱面上任意位置的母线称为素线，如图4—6所示。
图4-6 圆柱体的形成
图4-7 圆柱三视图的画图步骤
圆柱三视图的画图步骤如下，如图4—7h示：
１）用细点画线画作图基准线（图4—7a）。其中，主视图和左视图的作图基准线为圆柱的轴线，俯视图的作图基准线为圆柱底面圆的中心线。
２）从投影为圆的视图开始作图。先画俯视图（圆柱面积聚性投影为圆），并确定上、下两端面在V面、W面中的投影位置（图4—7b）。
３）画出圆柱面对V、W面转向轮廓线的投影。最后描深（图4—7c）。
二、圆锥
圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面是仓蹦赶逽A绕与它相交的轴线SO回转而成，如图4—8所示。圆锥面上通过顶点S的任一直线称为圆锥面的素线。
图4-8 圆锥面的4成
圆锥三视图的画图步骤如下（图4—9）：。
1）画作图基准线（图4—9a）。主视图与左视图的作图基准线都是圆锥的轴线，俯视图的作图基准线是底面圆的中心线。
2）画作图基4线（图4—9a）。主视图与左视图的作图基准线都是圆锥的轴线，俯视图的作图基准线是底面圆的中心线。
3）从投影为圆的视图开始作图。画出俯视图，并确定圆锥底面及锥顶点在V、W面上的投影位置（图4—9b）。
44根据投影规律画出锥面对V、W面的转向轮廓线投影。最后描深（图4—9c）。
图4-9 圆锥三视图的画图步骤
三、球
球是由球面围成的。球面是以圆为母线，以该圆上任一直径为回转轴旋转而成（图4—10a）。球体的三面投影圆是球体分别对V、H、W面的三个转向轮廓线圆的投影（图4—10）。图4—10c所示为球的三视图。
图4-10 球面的形成及三视图
第四节 曲面立体切割体三视图
曲面立体被平面切去部分后的形体称为曲面立体切割体，如图4-11
出了几种常见的曲面立体切割体。平面与曲面立体相交，在立体表面产生了一些交线，这些交线称为截交线，此平面又称为截平面如图4-12所示。由于曲面立体表面的形状不同，以及截平面相对于立体的位置不同，因此所产生的截交线形状也不同。例如图4-12所示截平面与圆柱面相交，交
有直线与曲线之分。无论截交线的形状有何不同，但它们都具有以下两个基本性质：
1）截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是两相交面的共有点。
2）由于立体是占有一定空间的形体，因此截交线必定组成一个封闭的平面图形。
下面分别介绍常见曲面立体切割体及其交线的画法。
图4-11 常见曲面立体切割体
a)切刀 b)顶针 c)六角螺母 d)手把上的球
图4-12 截平面与截交线
图4-13 平面截e圆柱的三种情况
（a）截平面垂直圆柱轴线，截交线为圆b）截平面平行圆柱轴线，截交线为矩形 c）截平面与圆柱轴线斜交，截交线为椭圆
一、平面切割圆柱体
平面切割圆柱有三种情况，如图4-13所示。当截平面垂直于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱表面上所得的交线是与圆柱直径为相同的圆。当截平面平行于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱面上的交线为直线，在圆柱体上得到一矩形，截平面离圆柱轴线越近其矩形越大；反之其矩形越小，如图4-14所示。
图4-14平面切割圆柱体
画出如图4-15所示圆柱切割体的三视图。
该切割体左端中间开一通槽，右端上下对称各切去一块，其截平面分别为水平面和侧平面。水平面平行于圆柱轴线，与圆柱面的交线为矩形，矩形的V、 W面投影积聚成一直线；其H面的投影反映实形，宽度由W面投影量取。侧平面垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为圆的一部分，其W面投影与圆柱的投影重影；V 、H面投影与侧平面的V、H面投影（直线）重影。三视图画图步骤如图4-16所示。
图4-15 轴块
图4-16 轴块三视图画图步骤
a）画圆柱的三视图 b）画左端通槽及右槽上下切口的V 、W面投影 c）按投影关系完成左右端的H面投影 d）描深
画出如图4-17所示开槽圆柱筒的三视图。
由图可见，圆柱筒的上方中间用与其轴线平行的两个侧平面和一个水平面对称地切出一通槽。侧平面的V、 H面投影具有积聚性，它的W面投影反映实形。由于两侧平面相对于轴线左右对称，所以它们的W面投影重合。侧平面既与外圆柱面相交，又与内圆柱面相交，交线皆为直线，根据投影规律可得交线的W面投影。在左视图中外圆柱面上交线可见侥谠仓面上交线不可见。读者可根据三视图画图步骤 进行分析，如图4-18所示。
图4-17 开槽圆筒
图4-18 开槽圆柱筒三视图画图步骤
a) 画圆柱筒的三视图 b）画通槽的V、H面投影c）按投影关系画交线和水平面的W面投影d）描深
当截平面倾斜于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱表面上的交线为椭圆，如图4-19所示。画图时，先画椭圆具有积聚性的投影并在其上确定一系列点，利用在圆柱面上作辅助线的方法，求出各点的投影，然后圆滑连接各点的同面投影呒纯傻玫浇亟幌撸ㄍ衷玻┑耐队啊＞咛遄魍疾街枞缤4-20所示。其中：图4-19 平面斜切圆柱
图4-19 平面斜切圆柱
1）求特殊点：在主视图中，椭圆的V面投影积聚成一直线,可得最低点（最左点）1′和最高点(最右点)5′; 在俯视图中圆柱面的投影积聚成圆,可得最前点3和最后点7,它们分别位于圆柱面对V面和对W面的转向轮廓线上,根据投影规律可得1、5，1″、5″；3′、7′，3″、7″。
2）求一般点：在H面投影上，将圆等分，得2、4、6、8等点，过各点向上作素线与V面投影交得2′（8′）、4′（6′）点，根据投影规律得2″、4″、6″、8病
3）圆滑连接各点的W面投影,即为所求交线椭圆的W面投影。由于圆柱的左上部已切去，所以交线的W面投影为可见。用粗实线绘制，注意圆柱对W面转向线画到3″和7″点终止。
图4-20 斜切圆柱三视图的画图步骤
a)画斜切圆柱的主、俯视图，并确定底面及圆柱对侧面转向轮廓线的W面投影位置 b)求特殊点的投影：最低点Ⅰ（1，1′，1″）；最高点Ⅴ（5，5′，5″）；最前点Ⅲ（3，3′，3″）；最后点Ⅶ（7，7′，7″） c) 求一般点的投影（Ⅱ Ⅳ Ⅵ Ⅷ） d)在左视图上圆滑地连接各点，然后描深
二．平面切割圆锥
平面切割圆锥有阒智蟹ǎ可以得到五种不同的表面交线。如图4-21所示列出了圆锥表面交线的六种情况,前两种分别是直线和圆，作图比较简单易画，后四种表面交线分别为椭圆，双曲线和抛物线。下面举例介绍求作圆锥表面交线的方法和步骤。
图4-21 圆锥交线的六种情况
截平面过锥顶，截交线是三角形 b）截平面垂直轴线，截交线是圆 c）截平面与轴线倾斜，截交线是椭圆d）截平面平行轴线，截交线是双曲线 e）截平面与轴线倾斜，截交线是双曲线 f〉截平面与轴线倾斜，截交线是抛物线。
如图4-22a所示为圆锥被平行于圆锥轴线的平面截切，已知主视图和俯视图，补全左视图中所缺交线的投影。截平面平行于圆锥轴线截切圆锥，其表面交线为双曲线，由主俯视图可知截平面为侧平面，它的V面投影和H面投影皆积聚为一条直线。根据这两个投影，利用在圆锥面上作辅助直线或辅助4的方法，可确定双曲线上各点的W面投影，从而可画出左视图中双曲线的投影。具体作图步骤如下：
1）求特殊点：由主俯视图可知，圆锥底圆与截平面的交点Ⅰ、Ⅶ为最底点；圆锥面对V面转向轮廓线与截平面的交点Ⅳ是双曲线上的顶点，也是最高点。根据投影规律，可直接求得1′ 、7′ 和4′,如图4-22b所示。。
2）求一般点：在Ⅰ、（Ⅶ）和Ⅳ之间取一般点，如Ⅱ、 Ⅵ。作图时先在主视图中的1′ 、(7′) 、4′之间取2′ 、 (6′),并过2′ (6′)作垂直于轴线的辅助圆γ′,在俯视图中画圆γ交侧平面的H面投影于2 6,根据投影规律可得2″ 、6″如图4-22c所示.也可通过2′ 、 (6′)在圆锥面上作素线,然后得到2、 6; 2″ 、6″。
3）圆滑连接各点的W面投影：由于双曲线在左半圆锥面上，所以双曲线的W面投影均为可见，用粗实线绘制如图4-22d所示。
图4-22 圆锥截交线的画法
a) 已知主、俯视图,补全左视图中所缺截交线的投影 b)求特殊点的投影 c);一般点的投影 d)左视图中圆滑连接各点的投影
三．平面切割球
当平面与球面相交时，其交线一定为圆。截平面离球心距离越近，交线圆的直径就越大，反之越小。截平面平行于投影面时，其交线在该投影面上的投影反映圆的实;。在另外两个投影面上积聚为直线。如图4-23所示列出了三种投影面平行面截切球所得交线圆的投影画法。
如图4-24a所示开槽半球，其顶端由三个平面开一通槽，若已A向为主视图投影方向，那么槽的左、右两侧面为侧平面；与球面相交，交线圆的W面投影反映圆的实形，槽底为水平面；与球面相交；交线圆的H面投影反映圆的实形。具体画图步骤如图4-30 b、c所示。
图4-23 投影面平行面切球交线圆的画法
a）水平面切球 b）正平面切球 c）侧平面切球
图4-24 开槽半球三视图的画法
a）开槽半球 b）画水平面 c）画侧平面
四.综合举例
求如图4-25所示台阶轴的表面交线。
台阶轴由同轴的大小两个圆柱组成，其轴线垂直于H面，两圆柱面的H面投影皆积聚为圆。截平面P为正平面，平行于台阶轴的轴线，与小圆柱相交得小矩形，与大圆柱相交得大矩形；水平面Q垂直于大圆柱轴线，与大圆柱面相交的交线为一部分圆。
因为正平面P的H 、W面投影皆积聚成一直线，其V面投影反映实形，所以作图时由H面投影可直接求得两矩形的V面投影。由于两个矩形属于同一个平面P，因此其V面投影应为一个封闭线框，主视图中两矩形之间不应该有轮廓线，图中的虚线表示大圆柱顶面后半部分的投影。水平面Q截大圆柱所得的H面投影反映实形，V 、W面投影皆积聚成一条直线。
图4-25 台阶轴
第五节 曲面立体切相交三视图
n立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线，见图4-26。
图4-26 相贯线
一、相贯线概述
1. 相贯线的性质
（1）相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
（2）由于立体表面是连续封闭的，所以相贯线一般是闭合的。
2. 按照立体的类型，常见的立体相贯有以下三种：
（1）平面立;与平面立体相贯；
（2）平面立体与回转体相贯；
（3）回转体与回转体相贯；
由于平面立体可以看作若干个平面围成的实体，所以前两种相贯情况可以归结为求平面与立体的截交线。如前面所讲的平面立体切割体和曲面立体切割体。
3. 按照立体的虚实类型，可以分为三种：
（1）实体与实体相贯（即两外表面相交）；
（2）实体与虚体相贯（即外表面与内表面相交）；
（3）虚体与虚体相贯（即两内表面相交）；
虚体、实体相贯线的分析作图是完全相同的。
4. 按照回转体轴线之间的关系又可分为三种：
（1）正交：轴线垂直相交；
（2）斜交；轴线倾斜相交；
（3）偏交：轴线交叉（含垂直与倾斜）
二、曲面立体交线的求法
根据相贯线的性质，求相贯线可归结为求两相交立体表面上一系列共有点的问题。常用的方法有两种：
1．利用投影积聚性求作相贯线根幌喙嵯呤窍嘟涣角面立体表面的共有线这一性质，当相交两曲面立体中有一个是圆柱且其轴线垂直于某投影面时，则相贯线在该投影面上的投影一定积聚在圆柱面的投影圆上，其余投影可通过在另一曲面立体表面上作辅助直线或辅助圆的方法求得。
2．辅助截平面法
当相交两曲面立体的三面投影均无积聚性时，则可采用辅助截平面法求作相贯线。辅助截平面的原理是三面共点原理。如图4-27所示，当圆柱与圆锥相交时，为求得共有点，可设想用一个平面P（称辅助截平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆柱面的截交线为两条直线，与圆锥面的截交线是圆。两直线和圆的交点MN是圆柱面，圆锥面和平面P三个面的共有点，因此是相贯线上的点。
图4-27 辅助平面法原理
3．求相贯线的步骤
两曲面立体相交时，其相贯线的形状各异，但都可按以下步骤进行作图：
（1）分析
1）形体分析 分析两相交的基本体各是哪一种曲面立体及其表面性质。
2）位置分析 一是要分析两相交曲面立体之间的相对位置，它们的轴线是正交还是交叉垂直；二是要分析两相交立体对投影面的相对位置及投影特点。它们的轴s与某投影面是垂直还是平行，其投影是否有积聚性。
3）投影分析 分析相贯线的已知投影及未知投影。
（2）求共有点
1）求特殊点 相贯线上的特殊点主要是转向轮廓线上的点和极s位置点。极限位置点是指相贯线上最前最后点，最高最底点，最左最右点等。
2）求一般点 根据需要作出适当数量的一般点。
3）判别可见性 可见性的判别原则是：当向某一投影面投影时，同时位于两立体表面的可见部分上的那一段相贯线为可见，否则为不可见。
4）圆滑连接各点 可见部分用粗实线连接，不可见部分用虚线连接。
4. 举例
例1．求两圆柱体的相贯线（图4-28）
分析：
1）形体分析 由图示可知，这是两个直径不同的圆柱体相贯，相贯线为一封闭的空间曲线。
2）位置分析 两圆柱轴线垂直相交，小圆柱的轴线垂直于H面，其H面的投影具有积聚性；大圆柱的轴线垂直于W面，其W面投影具有积聚性。
3）投影分析 由位置分析可知，相贯线的水平投影及侧面投影为已知，分别重合于相应的积聚性圆周上，要求的是相贯线的正面投影。
作图：
1）求特殊点 由图中可知，相贯线上Ⅰ、Ⅴ两点分别位于小圆柱对V面的转向线上，也位于大圆柱对V面的转向线上，因此Ⅰ、Ⅴ两点是相贯线上的最高点，同时也分别是相贯线上最左点和最右点；Ⅲ、Ⅶ两点分别位于小圆柱对W面的两条转向线上，它们是相贯线上的最底点，也分别是相贯线上最前点和最后点，在投影图上可自W面投影1″ 、3″ 、5″ 、7″向左引投影连线,直接得出V面投影1′ 、3′ 、5′ 、7′。
2）求一般点 先在小圆柱的H面投影圆上的特殊点之间适当地定出若干一般点的投影，如图中2、4、6、8等点，再按投影嘞底鞒鯳面投影2″ 、 (4″) 、8″ 、(6″)点和V面投影2′ 、(8′) 、4′ 、(6′)点。
3）判别可见性 图中1、2、3、4、5对V面可见，6、7、8相对于V面不可见。
4）圆滑连接各点 在V面投影中，按1′ 、2′ 、3′ 、4′ 、5′的顺序用圆滑曲线把各点连接起来。由于该相贯线前后两部分对称，形状相同，故在V面投影中重合，只画粗实线。
图4-28 求作两圆柱体的相贯线
（a）轴线正交两圆柱 （b）相贯线的求法
由于圆柱有实体圆柱和圆柱孔之分，因此圆柱面有外圆柱面和内圆柱面之别。两圆柱面相交会产生三种情况：①两外圆柱面相交（图4-29a）；② 外圆柱面与内圆柱面（即圆柱孔）相交（图4-29b）③两内圆柱面相交（图4-29c）。这三种情况相贯线的形状，性质相同，其求法也一样，所不同的只是有实线和虚线之分。
图4-a）两外圆柱面相交
b）外圆柱与内圆柱相交 c）两内圆柱相交29 两圆柱相交的三种情况
由于轴线相交的两圆柱直径相同或不同，在两圆柱轴线所共同平行的投影面上，其相贯线的投影形状和弯曲趋向会有所不同。当两相交圆柱的直径不相同时，相贯线的投影向着直径大的圆柱轴线方向弯曲，如图4-30a、b所示。当两圆柱直径相等时，两圆柱的相贯线为两条椭圆曲线，且椭圆曲线所在的平面垂直于V面，这时相贯线的V面投影成为两条相交的直线，如图4-30c所示。
图4-30 轴线相交两圆柱相贯线的投影特点
a）直立圆柱的直径大于水平圆柱的直径 b）直立圆柱的直径小于水平圆柱的直径 c）两圆柱直径相等
例2． 求作套筒的相贯线。
如图4-31a所示，套筒的内外表面均为圆柱面，在其中部钻有一个圆柱孔，该孔与套筒的内外圆柱表面均有相贯线。因内外圆柱面和所钻圆柱孔的轴线分别垂直侧面和水平面，所以相贯线在这两个投影面上的投影分别积聚在内外圆柱面和所钻圆柱孔的投影圆上，而相贯线的正面投影需求作。由于套筒内圆柱直径与所钻圆柱孔的直径相等，所以其相贯线的正面投影是两条相交直线，如图4-31b所示。
图4-31 求作套筒的相贯线
例3．求作圆柱与圆台的相贯t（图4-32）
图4-32 求作圆柱与圆台的相贯
分析：
1）形体分析 如图4-32a所示，圆柱与圆台相交。
2）位置分析 圆柱与圆台轴线垂直相交，圆柱b线垂直于W面，其W面投影积聚为圆；圆台轴线垂直于H面。由W面投影可知，圆柱的投影位于圆台投影范围中，说明圆柱贯入圆台，故相贯线是围绕圆柱一周的空间封闭曲线。
3）投影分析 由于圆柱W面投影具有积聚性，因此相贯线的W面投影重合于圆柱的W面投影圆上，可利用在圆锥表面上作辅助圆（或辅助直线）的方法求出相贯线上各点的H、V面投影。
作图：
1）求特殊点 从W面投影中可以看出，Ⅰ、Ⅴ两点是相贯线的最高点和最底点，其V面投影由两立体的V面投影W廓素线相交求得，再由1′ 、5′ 向下引投引线连线得1、5；Ⅲ、Ⅶ两点是相贯线的最前点和最后点，它们分别位于圆柱对H面的转向线上，其H面投影3、7用作锥面辅助圆A1求出。此两点也是相贯线的H面投影可见与不可见部分的分界点。由3、7向上引投影连线得其V面投影3′ 、(7′)。
2）求一般点 在圆柱的W面投影（圆）上，取若干一般点的投影2、4、6、8点。最后再根据各点的W、H面投影求出V面投影2′ 、(8′) 、4′ 、(6′)。
3）判别可见性 相贯线向H面投影时，虽对锥面而言都可见，但对圆柱而言，Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ、Ⅷ、Ⅶ各点位于圆柱上半部，其投影可见，其余部位位于圆柱下半部，投影不可见。相贯线前后对称，故相贯线的V面投影可见部分与不可见部分重合。
4）圆滑连接各点 将相贯线H、V面的可见部分投影用粗实线圆滑连接起来，不可见部灿眯橄咴不连接起来。
两轴线相交的圆柱与圆锥，由于它们的大小和相对位置不同，它们的相贯线在两轴线共同平行的投影面上，其投影的形状或弯曲趋向也会有所不同。如图4-33a所示，圆柱贯入圆锥，V面投影中两条相贯线（左、右各一条）由圆柱向沧吨嵯咄淝，并随圆柱直径的增大，相贯线逐渐弯近圆锥轴线。如图4-33b所示，圆锥贯入圆柱，V面投影中两条相贯线（上、下各一条）由圆锥向圆柱轴线弯曲，并随圆柱直径的减小，相贯线逐渐弯近圆柱轴线。如图4-33c所示，圆柱与圆锥互贯，并且圆柱面与圆锥面共同内切于一个球面，此时相贯线成为两条平面曲线（椭圆），并同时垂直于V面，其V面投影积聚成两条直线。
图 4-33 圆柱与圆锥相交的三种情况
a）圆柱穿过圆锥 b）圆锥穿过圆柱 c）圆柱圆锥相p与一球
例4．求作圆锥与半球的相贯线（图4-34）。
分析：
1）形体分析 图4-34为一圆锥体与半球相交；
2）位置分析 圆锥体轴线垂直于H面且位于球体左边的对称中心线上，所以相贯线为前后对称的封闭空间曲线；
3）投影分析 由于圆锥面和球面的各面投影都没有积聚性，相贯线的各面投影都要求出。
由于圆锥面和球面的各面投影都没有积聚性，所以不能再利用投影的积聚性通过表面坏愕姆椒ㄇ笞飨喙嵯撸而需用辅助截平面法。
作图：
1） 求特殊点 Ⅰ、Ⅴ两点分别是相贯线的最高点和最低点，它们位于圆锥面对V面的转向线上，同时位于球面对V面的转向线上，因此，在V面投影中的投影为两立体转向焕线的交点1′ 、4′,由1′ 、4′即可直接求出H和W面投影1、4和1″ 、4″。
位于圆锥在W面的转向线上的Ⅲ、Ⅴ两点，它是区分相贯线W面投影中可见与不可见部分的分界点。这两个点的各面投影要借助于通过圆锥轴线的辅助侧平面来求出。该侧平面与圆锥的交线即是圆锥面两欢圆嗥矫娴淖向线，而与球的交线为半圆（它的半径可从V面或H面投影中量取）。上述两转向线和半圆的W面投影交点3″ 、5″即为Ⅲ、Ⅴ两点的W面投影。由3″,5″即可直接求出其V面和H面投影3′ 、5′和3、5。
2)求一般点 图4-34中Ⅱ、Ⅵ两点是相幌呱系囊话愕悖其各面投影的求作过程是，先在V面投影的特殊点之间作辅助水平面P，再在H面投影中分别画出该截面与圆锥及球的截交线的投影a圆及b圆，则两圆的交点2、6即为相贯线上Ⅱ、Ⅵ点的H面投影。因Ⅱ、Ⅵ两点也是截平面P内的点，所以由2、6向上作投影连线与V面投影中PV相唬即得两点的V面投影2′ 、6′。最后由投影2、6及2′ 、6′求其W面投影2″ 、6″。
3)判别可见性及连线 所求相贯线在V，H面中的投影影均为粗实线，在W面投影中，由于Ⅲ——Ⅳ——Ⅴ这一段相贯线在圆锥面的不可见部分上，所以3″——4″——5晃不可见，用虚线画出，其余部分为可见，用粗实线画出。
辅助截平面法是一种常用的方法，只要利用积聚性能求作的问题也都能用此法来求作。采用辅助截平面法的关键是选取合适的截平面。图4-34若不是采用水平面，而是采用辅助正平面或采用辅助黄矫妫它与圆锥面的交线均为双曲线，这样会使作图繁琐而复杂。画截平面时还要注意必须使截出的两条截交线相交（极限位置相切），否则截平面内没有共有点。
图4-34 辅助截平面法求作两立体相贯线（一）
图4-35是用辅助截平面法求作圆柱与半球相贯线的例子。
图4-35 辅助截平面法求作两立体相贯线（二）
5. 多形体相交
在画实际零件图样时，由于零件的形体各异，交线也常常较复杂。画图;，必须注意形体分析，找出存在交线的各个表面，应用相贯线的基本作图方法，逐一作出各交线的投影。
求图4-36所示形体的表面交线。
图4-36 多圆柱体相交
分析：
1） 形体分析 由图示可知，该形体由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个圆柱组成。
2） 位置分析 圆柱Ⅰ、Ⅱ 的轴线垂直于W面，其W面投影具有积聚性；圆柱Ⅲ的轴线垂直于H面，其H面投影具有积聚性。圆柱Ⅰ、Ⅱ 是叠加关系，没交线，Ⅰ与Ⅲ，Ⅱ与Ⅲ 都是正;关系，存在交线需求解。另外，圆柱Ⅱ的左端面与Ⅲ也是相交关系，存在交线。形体前后对称。
3） 投影分析 通过上述分析可知，相贯线的H、W面投影为已知，要求的是相贯线的V面投影。
作图：
按上述分析，逐个作出各形体之间的交线，由于圆柱Ⅰ、Ⅱ 在侧面投影图上有积聚性，圆柱Ⅲ在水平投影图上有积聚性，因此可利用投影的积聚性及点的三投影之间的关系，圆柱Ⅰ与Ⅲ，圆柱Ⅱ与Ⅲ的表面交线，圆柱Ⅱ的左端面与圆柱Ⅲ的交线是两条垂直于水平面的p线，它们的水平投影积聚成点4、（5）和7、（8）；它们的侧面投影可根据投影规律求得4″,5″和7″,8″;它们的正面投影则重影成一竖直线段(4′) 、 (5′)。恰位于两段曲面交线之间。
