【本章的总体教学设计】首先在第一讲介绍介绍三视图的形成及其投影规律，然后由同学完成平面立体的三视图绘制，此时的作业模型上不宜出现斜面；然后第二讲介绍点、直线和平面的投影规律，第二讲中要结合平面立体介绍点、线、面的投影，不宜单纯介绍点、线、面的投影，要用三视图的投影规律分析点、线、面的投影；第三讲点、线、面的相对位置可根据学时多少酌情处理，可深可浅，讲点、线、面的相对位置，也要结合立体研究，这时的模型可含有,些投影面垂直面或一般位置平面；第四讲的投影变换以换面法为主，可结合直角三角形法讲解，综合举例除画法几何的题目外要介绍含斜面比较多的模型三视图的绘制。点、线、面的投影及其相对位置介绍之后再由同学绘制一些复杂平面立体的投影。
第一讲 三视图的形成及其投影规律
知识要点
（1）中心投影的概念
（2）斜投影的概念
（3）正投影的概念
（4）三视图的形成及其投影规律
（5）画三视图的方法和步骤
（6）利用AutoCAD绘制三视图
教学设计
用动画和电子挂图介绍三视图的形成及 投影规律，然后介绍三视图的画法，在介绍三视图的画法时，要紧紧抓住形体分析法，从一开始就要同学养成正确观察方法和正确的画图习惯，千万不能看到一条棱就画一条线，不作形体分析。在讲形体分析法时，对具体模型可灵活介绍线面分析法的方法，不能局限于教材的顺序，在组合 中才介绍形体分析法和线面分析法。这样为第四章的相贯线和截交线也打下了基础。
课前准备
准备好上课用的模型。
教学内容
（1）物体的投影
为了t到物体的投影，必须具有投射线、物体和投影面三个条件，其中投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影法和平行投影。
图3-1物体的影子和投影
（2）心投影
中心投影法的投射线自一点Ｓ发出，物体投影的大小取决于Ｓ到投影面的距离d和物体相对与投影面的距离,当d一定时，物体离光源Ｓ越近，投影越大。
图3-2中心投影法
（3）行投影和正投影
投射线为平行线时的投影称为平行投影。若投射线与投影面倾斜，则为斜投影；若投射线与投影面垂直，则为正投影。正投影的特性如下：
1)实形性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）；
2)积聚性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）；
3)类似性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与原形状类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平面图形变小了，线段变短了。
图3-3斜投影和正投影
（4）视图的形成
物体的一个视图只能反映出两个方向的尺寸情况，不同形状物体的某一视图可能会相同。所以，一个视图不能准s的表达物体的形状（图3-4）。
在机械图样上有时也采用一个视图表达机械零件的形状s但是，这是必须附加说明，圆柱的直径标注“φ”，球体的直径标注“Sφ”，板的厚度标注“t”等s在装配图上大家都非常熟悉的标准件，如螺栓、轴承等通常也只画一个视图。
图3-4不同物体的一个视图相同
用互相垂直的两个平面作投影面，将物体向这两个投影面作正投影，这两个投影联合起来能表达物体长、宽、高三个方向的尺寸，所以，一般情况下两个视图能表达清楚物体的形状，但有些物体用两个视图也不能准确的表达其形状（图3-5），为了唯一确定物体的形状和大小必须采用多面投影，通常画出物体的两个或三个视图，每个视图表示物体的一个方面，几个视图配合起来就能全面遄既返谋泶镂锾宓男巫础
三视图的形成过程
1)将物体放入由V、H、W面组成的投影体系中，用正投影的方法分别得到物体的三个投影，在V面上的投影称为主视图，在H面上的投影称为俯视图，在W面上的投影称为左视图。
2)拿走空间物体，保持V面不动，将H面绕X轴向下旋转90°，将W面绕Z轴向后旋转90°，和V面展平到一个平面内。
3)通常不画投影面和投影轴，根据图纸的大小调l三个视图的相对位置，即得到物体的三视图（图3-6）。
图3-5不同物体的两个视图相同
图3-6三视图的形成(动画演示)
（5）视图的投影f律
因为主视图反映了物体长度方向（方向）和高度方向（Z方向）的尺寸；俯视图反映f宽度方向（Y方向）和长度方向的尺寸；左视图反映了高度方向和宽度方向的尺寸。所以三个视图存在如下规律：
1)主、俯视图长度相等----长对正
2)主、左视图高度相等----高平齐
3)俯、左视图宽度相等----宽相等
“长对正、高平齐、宽相等”m映了三个视图的内在联系，不仅物体的总体尺寸要符合上述规律,物体上的每一个形体、平面、直线、点都遵从上述规律（图3-7）。
图3-7三视图的投影规律
（6）视图中图线的含义
1)轮廓线=廓线的含义是：物体上投影有积聚性的平面；两个面（平面或曲面）的交线；曲面的转向轮廓线。粗实线：表示物体的可见轮廓线；虚线：表示物体的不见轮廓线。
2)细点画线视图中的细点画线主要用来表示：回转面的轴线；圆的对称中心线；物体的对称中心线(图3-8)。
图2-8三视图中图线的含义
（7）三视图的画法
【例1】（动画演示）
图3-8
【例2】
图3-9
（8）用AutoCAD绘制三视图
图3-10
本讲作业
绘制平面立体模型的三视图（16个模型）
图3-11
第二讲 点、直线、平面的投影
1．知识要点
（1）点的投影
（2）直线对投影面的相对位置及其投影规律
（3）线对投影面的相对位置及其投影规律
2．教学设计
（1）点：重点讲三个点，三个坐标均不为0的点、一个坐标为0的点、两个坐标为0的点。
（2）直线：先讲投影面垂直线，再讲投影面平行线，最后讲一般位置直线。
（3）平面：先讲投影面平行面，再讲投呙娲怪泵妫最后讲一般位置平面。
3．教学内容
（1）点的投影
空间点对于由V、H和W面组成的投影体系有三种位置关系：
1)当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内；
2)当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投闹嵘希特别值得注意的是，当点在H面上时，其W面的投影落在Y轴上牡卑慈视图的形成方法展开投影体系时，其W面投影随Y轴一起绕Z轴暮笮转落在YW轴上。
3)当点的x、y、z坐标均有两个为零时，空间点在投影轴上，其一个投影与原点重合。无论点在空间处于S么位置，其三面投影仍然遵守长对正、高平齐、宽相等的投影规律(图3-12)。
图3-12点的投影(动画演示)
（2）直线的投影
空间直线对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置）。
1)投影面垂直线 若空间直线垂直于一个投影面，则必平行于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面垂直线，对于垂直于V、H、W面的直线分别称之为正垂线、铅垂线和侧垂线。投影面垂直线在其垂直的投影面上的投S积聚为一个点，其他两个投影面上投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。如表3-1所示。
表3-1投影面垂直线
2)投影面平行线若空间直线平行于S个投影面，倾斜于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面平行线，按其平行于V、H、W面分别称之为正平线、水平线和侧平线。投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，其他两个投影面上投影垂直于相应的投影轴，且投影线段的长小于空间线段的实长。如表3-2所示
表3-2投影面平行线
3)一般位置直线一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长。从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角。如图3-13"示。
右图3-13一般位置直线
（3）平面的投影
空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和一般位置。
1)投影面平行面 若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面平行，对平行于V、H、W面的平椒直鸪浦为正平面、水平面和侧平面。投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影面上投影积聚成一条直线，且平行于相应的投影轴，如表3-3所示。
2)投影面垂直面 若空间平面垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面垂直面，按垂直于V、H、W面的平面分别称之为正垂面、铅垂面和侧垂面。投影面垂直面在其垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，该直线f投影轴的夹角反映了空间平面和其他两个投影面所成的二面角，其他两个投影面上的投影为类似形，如表3-4所示。
3)一般位置平面若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，称之为一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形，在投影图上不能直接放映空间平面和投影面所成的二面角。如图2-14所示
表3-3投影面平行面
表3-4投影面垂直面
图3-14一般位置平面
4．本讲作业习题集
第三讲 平面内的点和直线
1.知识要点
（1）点和直线的位置关系
（2）线和直线的位置关系：平行、相交、异面
（3）点和平面的位置关系
（4）直线和平面的位置关系
（5）平面和平面的位置关系
2.教学设计
不讲太难的画法几何题目，只介绍点、线、面之间的相对位置及其投影特性，同时结合模型讲相对位置。要注意教学大纲要求直线和平面、平面与平面的位置关系，只研究至少一个元素和投影面处于特殊位置的情况。
3.课前准备
熟悉课件中的素材，整理自己的演示文稿
4.教学内容
（1）点和直线的位置关系
点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上。若点在直线上，点的三面投影必落在直线的三面投影上，且点分空间线段所成的比等于点的投影所分线段的投影所成的比；若点不在直线上，则点的三个投影至少有一个投影不在直线的投影上。如图3-15所示。
图3-15点和直线的位置关系
（2）直线和直线的位置关系
直线和直线的位置关系有平行、相交f异面（交叉）。
1)平行若空间两直线平行，则其三投影必平行，当空间直线为一般位置直线时，若直线的两个投影对应平行，即可f定空间两直线平行；当空间直线为投影面
图3-16两直线平行
平行线时，若两e投影对应平行，且其中一个投影反映两直线的实长，也可断定空间两直线平行，若两投影均不反映实长，则不能由两个投影断定空间直线平行；当空间两直线同时垂直于一个投影面时，两直线平行。如图3-16所示的直线中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、AB和CD四对直线中只有一对直线不平行，你能断定是哪对直线吗？
2)空间两直线相交N空间两直线相交，则三个投影必相交，且交点符合点的投影规律，若三个投影必相交，但交点不符合点的投影规律，则空间两直线异面。图3-17中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、AB和CD四对直线中只有一对直线不相交，你能断定是哪对直线吗？
图3-17两直线相交
3)异面直线异面直线是非共面的两条直线，若其投影线段相交，则交点对应于异面直线上的不同点，称之为重影点，对重影点可见性的判断，可以帮助判断两直线的交叉关系。图3-18所示直线中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、N1和N2四对直线中只有一对直线不是异面直线，你能断定是哪对直线吗？
4)直线和直线垂直直线和直线垂直不是一种独立的位置关系，可分为垂直相交和垂直异面。空间互相垂直的两条直线（垂直相交或垂直异面），若两条直线都与某投影面倾斜，则两直线在该投影面上的投影不垂直，只有当两条直线中至少有一条直线平行于该投影面时，两直线在该投影面上的投影才垂直。图3-19所示直线中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、N1和N2四对直线中只有一对直线不垂直，你能断定是哪对直线吗？
图3-18异面直线
图3-19两直线垂直
（3）点和平面的位置关系
点和平面的位置关系有两种：点在平面上和点不在平面上。若点在平面内的一条已知直线上，则点必在平面内。如图2-17（a）所示，已知平面ABC的两投影，且K点在平面ABC上，K的V面投影k’已知，求作K点的H面投影。这个基本作图非常有用，如图3-20（b）所示的三棱锥，当钻出一个三棱柱孔时，三棱柱孔的两端面三角形在三棱锥的前后侧面上，可利用点在平面上的基本作图求出其H面投影和W面投影。
图3-20平面上的点
（4）直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系有平行、相交和直线在平面内三种位置关系。直线与平面垂直是相交的特例。
1)直线在平面内若直线上的两点在平面内，则直线在平面内；过平面内的一个已知点，作平面内的一条已知直线的平行线，则直线在平面内。图3-21（a）为基本作图过程，图3-21（b）为四棱锥上钻一个三棱柱孔的三视<，三棱柱孔的端面三角形在四棱锥的前后侧面上，三棱柱孔的主视图已知，可用上述基本作图求出三棱柱孔的俯视图和左视图。
2)<线与平面平行直线与平面平行的判定定理是直线平行与平面内的一条已知直线。过空间一点可以作无数条直线和已知平面平行，但过空间一点作已知平面的投影面平行线只能作一条。如图3-22所示，K点可能在平面ABC内，也可能不在平面ABC内，若K点在平面ABC内，则KL在平面ABC内；若K点不在平面ABC内，则KL和平面ABC平行。
3)直线和平面相交直线和平面相交时,交点为直线和平面的公共点,若直线和平面两者中有一个对投影面处于垂直位置,则交点可直接求出，如图3-23所示；若两者对投影面均处于一般位置，则不能直接求出，我们不讨论这种情况。图3-23（b）三棱柱和三棱柱交时的三视图，三棱柱和三棱柱的交线可理解为小三棱柱的三个侧棱和大三棱柱的两个侧面相交，用上述基本作图可求出其交点，然后根据可见性连线，即可得到三棱柱和三棱柱的交线。
左图3-21平面内的直线
图3-22直线和平面平行
图3-23直线和平面相交
（5）平面和平面的位置关系
平面和平面的位置关系有平行、相交两种情况，垂直是相交的特例。
1)平面与平面平行在一个平面内能作出两条相交直线平行于另一个平面，则两平面平行。过空间一点只能作一个平面平行于已知平面。如图3-24所示的五棱锥被水平面和侧平面切去一角后的三视图，水平截断面和五棱锥的底面平行。
图3-24平面和平面平行
2)平面和平面相交平面与平面相交时，其交线为两平面的公共线，若两平面均垂直于某投影面，则交线也垂直于该投影面；若两平面中一个为投影面垂直面，另一个为一般位置直线，则交线为一般位置直线。两平面中只要有一个垂直于投影面，则交线即可直接求出t如图3-25所示。若两平面均为一般位置直线，交线不能直接求出，我们不讨论这种情况。
图3-25平面与平面相交
5.本讲作业习题集
第四讲 投影变换
1.知识要"
（6）求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角
（7）求一般位置平面对投影面的夹角
（8）求投影面垂直面的实形
（9）综合举例
2.教学设计
求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角有三种方法：直角三角形法、换面法、旋转法，我们只介绍前两种方法，而且把直角三角形法看成是换面法的特例；求一般位置平面的实形需要两次换面，我们分=两步讲解：求一般位置平面对投影面的夹角、求投影面垂直面的实形。
3.课前准备
准备教具和演示文稿。
4.教学内容
（1）求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角
1)直角三角形法直角三角形法的原理如图3-26所示，在直角三角形ABC中，AD=ab，BD=ΔZ（B和A点的Z坐标差），AB为空间直线AB的实长，∠BAD为直线AB和H面的夹角α，从投影图可知ab和B、A点的Z坐标差ΔZ，所以可画出直角ΔabE,使ΔabE≌ΔABD，则aE为空间直线AB的实长，∠baE为直线AB和H面的夹角α。若求AB和V面的夹角β，可用a’b’和B、A点的Y坐标差ΔY为直角边作直角ΔabF，则∠Fa’b’为&线AB和V面的夹角β。
2)投影变换法一般位置直线可经过一次换面将其换成新投影面的平行线，在新投影面上的投影将反映空间直线对保留下来的旧投影面的夹角。例如若要求空间直线对H面的夹2α和实长AB，可在由V、H面组成的投影体系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，和直线AB平行，则在由V1、H面组成的新投影体系中AB为正平线，且线段AB端点的Z坐标不变，所以可由原投影求出直线在V1面上的投影。投影变换的原理如图3-27所示。
图3-26直角三角形法（制作动画）
图3-27换面法的原理（1）（制作动画）
若要求直线对V面的夹角β，可在由V、H面组成的投影体系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，和直线AB平行，则在由H1、V面组成的新投影体系中AB为水平线，且线段AB端点的Y坐标不变，所以可由原投影求出直线在H1面上的投影。投影变换的原理如图3-27所示。
图3-27换面法的原理（2）
制作动画）
（2）求一般位置平面对投影面的夹角
一般位置平面经过一次换面可以变换为投影面的垂直面，所以可经过一次换面求出其和投影面所成的角。若要求平面和H面所成的角α可换掉V面保留H面，将平面变换为新投影体系的正垂面，如图3-28所示。为了将一般位置直线变换为投影面垂直面，要先在平面内作一条水平线，X1轴和水平线的水平投影垂直，这样就可将这条水平线积聚为一个点，从而将平面积聚为一条直线。同理，若要求β角m则换掉H面保留V面，需在平面内作一条正平线，将正平线积聚成一个点。
（3）求投影面垂直面的实形
投影面垂直面经一次换面可将其换成投影面平行，从而求出其实形，换面原理如图3-29所示。一般位置直线可经过两次换面求出其实形，第一步先将一般位置直线换成投影面垂直线，第二次换面求出实形，。
图3-28求一般位置直线对投影面的夹角（制作动画）
图3-29求投影面垂直面的实形
（4）综合举例
[例1]已知物体的主视图和俯视图，分析物体上的平面对投影面的位置关系，想象物体的形状，补画出左视图。（图3-30）
【分析】首先想象其基础形体，基础形体为长方体，由主视图上两条斜线知，在长方体上用两个正垂面切去左右两个角，由左视图上的斜线知，在长方体上用一个侧垂面切去上前方的一个角，最后切去一个矩形竖槽，竖槽和侧垂面产生了交线。如图3-31所示。补画俯视图时，要先画长方体的投影，左右的切角，再画上前方的切角，后画矩形竖槽。
图3-30已知条件
图3-31补画俯视图
［例2］求平面ΔABC和矩形P的交线，判断可见性，补画俯视图。如图3-32(a)所示。
【分析】由V面投影可知，P平面是正垂面，ΔABC是一般位置平面。两平面的交线是一般位置直线，直线AC和P平面相交，交点K的V面投影为AC和P平面的V面投影的交点k’，水平投影在AC的水平投影上，所以，直线AC和P平面的交点可直接求出；线段BC和线段AB不与平面P相交，而矩形的左边和ΔABC相交，设交点为L，因左边为正垂线，所以不能直接求出交点的投影，我们注意到交点L的V面投影和矩形左边的V面投影重合，所以可利用平面上的点的已知一个投影求另一个投影的基本作图求出其水平投影l，作图方法见图3-32（b）所示。俯视图的可见性要从主视图上看才能知道两者的遮挡关系，首先交线的水平投影是可见的，且交线和可见和不可见的分界线，所以只要判断一条交线和另一个平面的遮挡关系即可，如直线AC和P平面的焦点K将AC分为AK和KC两段，AK的水平投影可见，KC的水平投影部分被P遮挡，其余类推。
图3-32平面和平面互交（制作动画）
[例3]已知平面ABC、平面P和点K的两面投影，过点K作直线KL，使KL平行于平面ABC和平面P。如图3-33（a）所示.
【分析】平面P为铅垂面，平面ABC是一般位置平面，所以两平面的交线EF为一般位置直线。若要过K点作一条直线，既平行于平面ABC，又平行于平面P，则该直线必平行于两平面的交线，所以先求出平面ABC和平面P的交线EF的两投影，再过K点作EF的平行线KL，则KL即为所求。如图3-33(b)所示。
[例4]完成四棱锥被两平面切割后的俯视图和左视图。如图3-34（a）所示。
【分析】由图可知，四棱锥的底面是水平面，四个侧面是一般位置平面。两个截平面中一个是水平面，一个是正垂面。水平面和四个侧面均相交，且交线平行与四棱锥底面的棱线，截断面为五边形，水平截平面的水平投影反映实形，侧面投影为一条直线段，所以只要求出右侧棱和水平截平面交点的水平投影，然后作底面侧棱的平行线，即可求出水平截断面的水平投影，根据宽相等即可求出其侧面投影；正垂截平面只和两个侧面相交，截断面为三角形，两个截平面的交线为正垂线，根据长对正先求出截断面八平投影，然后根据宽相等求出其侧面投影。最后整理三棱锥的轮廓线，在左视图上，右侧棱的投影有一段和左侧棱重合，有一段被正垂截断面遮挡，所以画成虚线，这一点应特别注意。如图3-34（b）所是。绘制立体的三视图时，一定要先画出基础立体的三视图，然后再研究交线，最后整理轮廓线，最忌讳的是看到一条线就画一条线，不作形体分析，只画能看到的线，不画看不到的线。
图3-33直线与平面平行
5．本讲作业习题集
图3-34平面与平面相交
[例5]求图3-35所示立体“凸”字形断面的实形。
图3-35正垂面的实形
【分析】“凸”字形断面是正垂面，断面形状可理解为矩形切去两个小矩形。矩形的高度（39）在主视图上反映其大小，矩形的宽度（40）在俯视图上反映其大小，所以可画出矩形的实际大小。同理，可画出小矩形的实际大小。
[例6]求三棱锥的锥顶S到底面ABC高线的投影，如图3-36（a）所示。
分析:三棱锥S-ABC的四个面均为一般位置平面，锥顶S到底面ABC的高SD是一般位置直线，若将底面ABC经过投影变换成新投影面的垂直面，则高SD在新投影面上的投影和底面ABC的投影垂直，且SD平行于新嬗懊妫所以，可求出SD在新投影体系中的投影。作图步骤如下：
（1）在底面ABC内作一条水平线，添加新投影轴，将底面ABC变换为V1面的垂直面；
（2）求出S在V1面内的投影s1’，过s1’作直线a1’b1’c1’的垂线s1’d1’,则s1’d1’为高线SD的V1面投影；
（3）过s作X1轴的平行线，过d’作X1轴的垂线，两线的交点d为D点的H面投影；
（4）利用d1’到X1轴的距离等于D点的Z坐标，可求出D点的V面投影d’。见图3-36（b）所示。
请读者想一想，上述作图方法求出的D点是不是垂t？为什么？
[例7]求图3-37所示变形接头左侧面和前面所成二面角的大小。
【分析】设接头左侧面和前面的交线为AB，在左侧面上取一点D，在前面上取一点C，则平面ABC和平面ABD所成的二面角即 为接头左侧面和前面所成二面角。为了求出这个
图3-36投影变换法求三棱锥的高
二面角的实际大小，需要将交线AB变换为投影面的垂直线，而AB为一般位置直线，所以需要经过两次换面法才能将AB变换为投影面的垂直线。作图过程见图3-37。
图3-37求二面角的实际大小
