第四章 基本立体的投影
第一讲 基本立体的投影
1．知识要点
（1）圆柱体的投影
（2）圆锥体的投影
（3）球体的投影
（4）圆柱截交线
2．教学设计
本章的内容较多，N面上容易，实际上同学掌握起来比较难，所以教学上要注意直观教学和空间想象能力培养的关系，明确教学目的。
通过对圆柱体、圆锥体和球体在三面投影体系N投影的研究，进一步巩固三视图的投影规律，通过研究曲面上点、线的投影，暗示线面分析法的思想方法。在介绍基本曲面立体的投影时，要紧紧抓住转向轮廓线的概念和投影，这对于接下来的截交线和相贯线的学习也是非常重要的，在讲圆柱截交线时，利用动画、模型、虚拟现实等多媒N技术介绍基本概念和作图方法。
3．课前准备
准备教具、熟悉教学内容和要使用的教学课件，课前最好将要布置的作业试做一遍，对学生作业中的问题作到心中有数，
4．教学内容
（1）圆柱体的投影
若圆柱体的轴线垂直于H面,则俯视图的可见轮廓为圆,这个圆反映了圆柱体上、下底面的实形，也表示圆柱侧面的俯视图；主视图的可见轮廓为矩形，矩形的上下两边为圆柱体的上下两底的投影，左右两边为圆柱面最左最右的两条素线的投影，这两条酉呓柱面分为前半个柱面和后半个柱面，前半个柱面可见，后半个柱面不可见，我们把这两条素线叫作柱面对V面的转向轮廓线。左视图的图形虽然和主视图相同，但其左右两条边的含义和主视图不同，这两条线表示用嫔献钋白詈罅教跛叵叩耐队埃即柱面对W面的转向轮廓线（图4-1）。
图4-1圆柱体的投影
提问：柱面对V面转向轮廓线的俯、左视图是什么？柱面对W面转向轮廓线的主、俯视图是什么？
（2）锥体的投影
圆锥体的投影和圆柱体的投影类似,俯视图为圆,这个圆表示圆锥体底面的投影,主视图和左视图为把三角形,主视图的两腰为锥面对V面的转向轮廓线的投影,左视图的把,为锥面对W面的转向轮廓线的投影。如图4-2所示。
提问：
1)锥面对V面和W面的转向轮廓线对投影面的位置关系上什么？
2)柱面对V面转向轮廓线的俯、左视图是什么？
3)已知锥面上一点M的V面投影m',如何求出M的水平投影和侧面投影？
图4-2圆锥体
（3）球体的投影
球体的三个视图均为圆，但这三个圆代表球体上三个不同方向的纬圆，这三个纬圆分别平行于三个投影面，如图4-3所示。不要看立体图，从三视图上看，你是否知道这三个纬圆的其它两个投影？这样的分析，有助于提高你的空间想象能力。已知球面上一点M的V面投影m',如何求出M的水平投影和侧面投影？
图4-3球体
第二讲 圆柱截交线
教学内容
圆柱体与平面相交有三种情况：
1)当截平面与圆柱体的轴线垂直时，截交线为圆或圆弧；
2)当截平面与圆柱体的轴线平行时，截交线为两条线段；
3)当截平面与圆柱体的轴线倾斜时，截交线为椭圆或椭圆弧。
表4-1圆柱截交线
[例1]根据立体图绘制三视图（利用课件中的动画讲解）
【形体分析】基本形体为圆柱体，先用一个侧平面和水平面切去一角，侧平面和柱面的交线为线段，水平面和柱面的交线为圆弧；再用两个正平面和水平面切去一个矩形槽，矩形槽的侧面和柱面的交线为线段，槽的底面与 面的交线为圆弧。见图4-4。
【画图步骤】
1)先画出圆柱体的投影；
2)再画切角的投影，切角的投影要先画主视图，再画俯视图，最后画左视图；
3)画矩形切槽的投影，矩形切槽的投影要先i左视图，再画俯视图，最后画主视图；
4)整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除。
图4-4圆柱截交线举例（1）
图4-5常见错误
特别值得注意的是，在左视图和主视图上非常容=犯图4-5所示的错误，其原因是画左侧切角时先画左视图后画俯视图，画左视图时不注意和俯视图的对应关系；画矩形切槽时先画主视图后画俯视图，画主视图时不注意和俯视图的对应关系。
[例2]根据立体图绘制三视图（图4-6）（利用课件中的动画讲解）
【形体分析】基本形体为圆柱体，用一个水平面和正垂面切去一角，水平面和柱面的交线为线段，截断t形状为矩形，正垂面和柱面的交线为椭圆弧。
【画图步骤】
1)先画出圆柱体的投影；
2)再根据模型（或立体图），在主视图上确定截断面的投影，矩形截断面的左视图为直线，椭圆弧截交线的左视图为圆弧；
3)椭圆弧的俯视图仍为椭圆弧，若用仪器画图，可先求亟亟幌呱系奶厥獾悖ㄗ向轮廓线上的点和曲线段的端点），再求些一般点，利用对称性求出对称点，然后用曲线板光滑连接各点；
4)整理轮廓线。
图4-6圆柱截交线举例（2）
[例3]组合圆柱体的截交线（图4-7）（利用课件中的动画讲解）
【形体分析】图示模型的基础形体为两个外圆柱面和一个内圆柱面形成的柱体，然后在底版柱面上前后各切去一个月牙形，最后切去一个矩形方槽。
【画图步骤】
1)先画出没被切割之前基础形体的三视图；
2)画圆柱底版切去月牙形后的投影。先画俯视图，后画左视图和主视图；
3)画切去矩形槽后的投影。因为矩形槽在左视图上的投影有积聚性，滓韵然左视图，又因为柱面在俯视图上的投影有积聚性，第二步画槽的俯视图，最后由俯视图和左视图求出各柱面截交线的主视图；
4)整理轮廓线。各柱面对V面的转向轮廓线被矩形槽的切割情况，要从左视图和俯视图上分析。
图4-7圆柱面的组合截交线
5．作业习题集和学习指导书上的相关练习
第三讲 圆锥、圆球截交线
1.知识要点
（1）圆锥截交线的5种情况
（2）球体截交线
2.教学设计
p圆锥截交线的5种情况按画图方法分为3种情况：截交线为直线、圆弧和非圆曲线。对非圆曲线要总结出统一的作图规律。球体截交线只研究投p面平行面切球体产生的交线情况。
根据作图的特点，在讲课时也可以将平面立体和曲面立体相贯的情况归结为截交线来讲。
3.课前准备
准备教具、熟悉教学内容和要使用的教学课件。
4.教学内容
（1）圆锥体与平面相交可分为五种情况：后三种绘图方法相同（电子挂图）
表4-2圆锥截交线
（2）球u截交线
表3-3球体截交线
[例1]如图4-8所示，已知主视图，补画左视图和俯视图（课件动画）
【形体分析】这是一个由圆锥和圆柱组成的立体，圆锥和圆柱的轴线重合，柱面和锥面的交线为圆，被一个水平面和一个侧平面切去一角，和柱面的交线为直线和圆弧，和锥面的交线为双曲线，双曲线的水平投影反e实形。
【画图步骤】
1)先画出圆柱和圆锥没被切割之前的左视图和俯视图；
2)切去一角后,左视图多出一条水平线；
3)画出圆柱切割后的俯视图；
4)求出双曲线上特殊点A、B、C的水平投影，用辅助平面法求出双曲线上一般点的水平投影；
5)用曲线板光滑连接双曲线，修改圆柱和圆锥交线水平投影的可见性。
图4-8圆柱和圆锥复合截交线
[例2]如图4-9所示，根据立体图绘制三视图
【形体分析】槽的侧面P为侧平面，并和圆锥的轴线平行，所以，P平面和锥面的交线为双曲线段，并且侧面投影反映实形。槽的上面R为水平面，并和圆锥的轴线垂直，所以，R平面和锥面的交线为圆弧，并且水平投影反映实形，圆弧的半径可从主视图上求得。
【作图步骤】
1)画圆台的三视图；
2)画矩形槽的主视图,尺寸从模型(或立体图)上测量；
3)作P平面和锥面 线---双曲线的W面投影和水平投影；5个特殊点中,有两点采用辅助平面法求出；
4)作R平面和锥面交线---圆弧的水平投影和W面的投影,注意圆弧的半径不要量错；
5)整理轮廓线，从主视图上可以看出，锥面对W面的转向轮廓线被矩形槽切去了一段，圆台的底圆也被切去了一段圆弧，所以，俯视图不再是完整的圆。
图4-9圆锥截交线举例
[例3]如图4-10所示，已知半圆头螺钉头部的主视图，参考立体图补画俯视图和左视图。
【形体分析】螺钉头部是由半球被侧平面P和水平面R切割尔成的，矩形槽在V面上的投ぞ哂谢聚性。
【画图步骤】
1)先画出半球没有被切割之前的投影；
2)作侧平面P和球面交线圆弧的投影,先画左视图(半径为R1),后画俯视图；
3)作水平面R和球面交线圆弧的投影,先画俯视图(半径为R2),后画左视图；
4)整理轮廓线,判断可见性。
图4-10圆球截交线举例
5.作业习题集和学习指导书上的相关练习
第四讲 圆柱相贯线
1.知识要点
（1）外圆柱面和外圆柱面相贯：实实相贯
（2）内圆柱面和内圆柱面相贯：空空相贯
（3）内圆柱面和外圆柱面相贯：空实相贯
（4）直径相等的圆柱面相贯
（5）相贯线的近似画法
2.教学设计：外与外、外与内、内与内圆柱面相交产生的交线性质是相同的，画法原理也是相同的，只是在可见性上有点不同。教学中要强调相贯线的三个投影，不要只注意相贯线投影为曲线的那个投影，要强调特殊点的三面投影。结合具体示例讲解相贯线的画法规律。
3.课前准备准备教具
4.教学内容
（1）圆柱体正交的三种情况（电子挂图配仿真模型l注意相贯线的三个投影和特殊点的投影）
表4-4圆柱相贯线
[例1]外圆柱面和外圆柱面相交（仿真模型）
【作图步骤】如图4-11所示
1)首先画出两个圆柱轮廓线的三视图，确定两个圆柱的相对位置；
2)求特殊点的正面投影。所谓特殊点，t是两个柱面转向轮廓线上的点和表示相贯线空间极限范围的点，本例中的A、B、C、D即为柱面对V面和H面转向轮廓线上的点，也是空间曲线最高点、最低点、最后点和最前点。
3)求一般点的投影。如M和N点，可先确定其水平投影，根据宽相等求出其侧面投影，最后求出正面投影。
4)根据点在空间的连接顺序,用曲线板连接成光滑曲线。
图4-11圆柱相贯线画法
[例2]直径相等的两个外圆柱面相交
（用动画演示）上例中假想大圆柱的直径不变，而小圆柱的直径变大，D点的V面投影将向右移动，A点V面投影将向上移动。当两个圆柱的直径相等时，相贯线将由空间曲线变为平面曲线椭圆，若竖直放置的圆柱面只有左半个柱面参与相贯，则相贯线的空间形状为两段椭圆弧，且椭圆平面和V面处于垂直位置，所以，相贯线的V面投影为两段直线。
【分析】若两个直径相等的柱面互贯穿，则相贯线为两个完整的椭圆，两个椭圆在柱面不反映圆的视图上，聚积成直线。如图4-12所示。
图4-12直径相等的两个柱面相交
[例3]外圆柱面和内圆柱面相交（仿真模型，本例的目的是介绍近似画法）
【分析】外圆柱面和内圆柱面相交、内圆柱面和内圆柱>相交时，相贯线的形状和外圆柱面与外圆柱面相交时相贯线的形状相同，画法也完全一样。当两个柱面的直径相差交大时，可用圆弧代替曲线，圆弧的半径等于大圆柱面的半径。即用俯视图的圆弧代替主视图的曲线。只是要特别注意，当圆柱套筒和一个圆柱孔相贯时，若采用近似画法，套>外圆柱面和孔的相贯线的圆弧半径为外圆柱面的半径，套筒内圆柱面和孔的相贯线的圆弧半径为内圆柱面的半径，把两条相贯线的圆弧半径画的相等是错误的。如图4-13所示
图4-13内、外圆柱面相交
[例4]内圆柱面和内圆柱面相交（仿真模型）
【分析】内圆柱面和"圆柱面相贯时，若两孔的直径相等，产生的相贯线的空间形状也为椭圆或椭圆弧，在柱面不反映圆的视图上的投影也积聚为直线，只是不可见，应画成虚线。圆孔和圆孔相贯时，要特别注意内孔的转向轮廓线，在相贯区域，孔的转向轮廓线应断开（图4-14和图4-15）。
图4-14内圆柱面和内圆柱面相交
图4-15常见错误画法
5.作业习题集和学习指导书上的相关练习
第五讲 辅助平面法求相贯线
1.知识要点
（1）辅助平面法的原理 （2）辅助平面法的作图步骤
2.教学设计：结合圆柱和圆锥相贯、圆锥和球体相贯讲解辅助平面法，可利用课件中的动画讲解，也可以在黑板上一步一步画出，让同学看到具体的画图过程，也可以将动画和黑板画图结合起来，从教学实践看最后一种方法教学效果好，单看动画或单画黑板图都不理想，要注意让同学记笔记，讲完两个例子后可再给出一些题目（如习题集中的题目）让同学试作，教师在边指导。对教材中相贯线的一些特例可不作介绍，留给同学自学。
3.课前准备熟悉课件动画步骤。
4.教学内容
[例1]圆柱和圆锥相贯（图4-16）（Flash动画）
【形体分析】圆柱和圆锥相贯时，若轴线垂直相交（正交），则相贯线的空间形状关于两相交轴线平面对称，当轴线平面平行于投影面时，相贯线关于轴平面对称的两点，在投影面上的投影重合，相贯线在该投影面上的投影为曲线段。当圆柱的轴线垂直于W面，圆锥的轴线垂直于H面时，两相交轴线平面平行于V面，所以，相贯线的V面投影为曲线段。柱面的W面投影积聚为圆，相贯线的W面投影和柱面的投影重合，也为圆，相贯线的H面投影为闭合曲线。
求相贯线上点的投影的基本方法是辅助平面法，其依据是三面共点原理，辅助平面的选择应满足三条：辅助平面和投影面处于平行位置；辅助平面和两曲面的截交线为圆或直线；两截交线有交点。
【画图步骤】
1)先画出圆锥和圆柱三l视图上的轮廓线；
2)辅助平面法相贯线上的特殊点和一般点的投影，先求柱面对V面转向轮廓线与锥面的交点A、B，再求柱面对H面转向轮廓线与锥面的交点C、D，最后求些一般点；
3)光滑连接相贯线上的点,此时要注意判断相贯线的可见性；
4)整理轮廓线。
图4-16辅助平面法求柱面和锥面的交线
[例2]锥面和球面相贯（图4-17）（Flash动画）
【形体分析"锥面和球面相贯时，因锥面和球面没有积聚性，所以，相贯线的三个投影均不知道，为求出相贯线的三个投影，必须采用辅助平面法。圆锥的轴线在部分球体的前后对称面上，且垂直与H面，所以，相贯线关于过球心"正平面对称，相贯线的V面投影为曲线段，W面和H面的为闭合曲线。"贯线上的特殊点为锥面对V和W面的转向轮廓线与球面的交点,共4个点。求V面转向轮廓线上的点可用过锥顶的正平面作辅助平面，求W面转向轮廓线上的点可用过锥顶的侧平面作辅助平面，求一般点用水平面作辅助平面。
【画图步骤】
1)确定球体和圆柱体的相对位置,画出其轮廓线；
2)求锥面对V面转向轮廓线与球面的交点A和B的投影，先求V面投影，再求H和W面投影；
3)求锥面对W面转向t廓线与球面的交点C和D的投影，先求W面投影，再求V和H面投影。注意辅助平面切球面产生的圆弧半径；
4)求一般点M和N的投影。用水平面切球面和锥面的公共部分，辅助平面和球面、锥面的交"均为圆弧，且圆弧在H面上的投影反映实形，两个圆弧的交点为相贯线上的点的水平投影，然后求出其V面和W面投影；
5)用曲线板光滑连线，整理轮廓线，注意可见性。
图3-17辅助平面法求锥面和球面的交线
