（二）平面与圆锥相交
由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同，平面截切圆锥所得的截交线有五种：圆、椭圆、抛物线与直线组成的平面图形，双曲线与直线组成的平面图形及过锥顶的三角形，见表5-2。
另一情况，当θ>α且截平面截到圆锥的底圆时，截交线由一段椭v曲线与一段直线组成。
除上述用面上取点法求v柱截交线上的点外，还可以用下列辅助平面法求圆锥截交线上的点：辅助平面法是根据三面共点的几何原理，采用加辅助平面，使其与截平面和立体的表面相交，求出与截平面相交的辅助交线和与立体表面相交的辅助截交线的交点，即为所求截交线上的点，依此，完成截交线上一系列点的v影
，如图5-7所示。
图5-7所示为一正放的圆锥被铅垂面P截切，如求截交线上一般点D、E，则可采用辅助水平面R与截平面P和圆锥面相交的辅助交线和辅助截交线的焦点D、E三面相交的交点，即为所求截交线上的点。
求共有点时，应先求出特殊点。其次，为v图准确，还应求出若干个一般点，并使这些点分步均匀。
[例5-4] 求圆锥被正平面P截切后的投影（图5-8）。
分析 由于圆锥轴线为铅垂线，截平面P为正平面，故截交线由双曲线和直线组成。截交线的正面投影反映真形，左右对称；水平投影和侧面投影分别成为横向直线和竖向直线，且分别积聚在Pн、P
上。因此，此例主要是求截嫦叩恼面投影，可用线面交点法，面上取点法或辅助平面法作出。
作图步骤（如图5-8b所示）：
（1）求特殊点（如A、B、C） 截交线上的最坐点A和最右点B在底圆上，因此可由水平投影a、b在底圆的正面投影上定出a′、b′。截交线上的最高点C在圆锥最前侧视转向轮廓线上，因此，可由侧面投影c″直接得到正面投影c′。
（2）求一般点（如D、E） 作辅助水平面R的正面迹线R
及侧面迹线R
，该辅助面与圆锥面交线的水平投影是以1′2′为直径的圆，它与Pн相交得d、e，再求出d′、
e′和d″、e″，如图5-7和图5-8所示。
（3）判别可见性 由于P平面前面部分圆锥被切掉，所以截交线的正面投影
a′d′c′e′b′为可见。
（4）连线 按截交线水平投影的顺序，将a′、d′、c′、e′、b′、a′光滑地连接起来，即得截交线的正面投影a′d′c′e′b′a′（其中，a′d′c′e′b′为圆锥面上的截交线的正面投影；b′a′为圆锥底面上的截交线的正面投影，它在圆锥底面的有积聚性的正面投影上）。
[例5-5]求锥面被正垂面P截切后的投影（图5-9）。
分析 由于圆锥轴线为铅垂线，截平面为正垂面，与圆锥轴线斜交，且与圆锥的所有素线相交，故截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚成一直线，水平投影个侧面投影均为椭圆，但不反映真形。可采用面上取点法和线面交点法作出截交线的水平投影和侧面投影。也可选用辅助平面法求s本题。
在本例中也运用辅助平面法来求作截交线上一些点的投影。
作图步骤（如图5-9b所示）：
（1）求特殊点（如A、B、C、D） 截交线上最底点A和最高点B，是椭圆长轴上的两个端点，它们的正面投影a′、b′是圆锥体正面s影左、右两条正视转向轮廓线与截平面相交的交点的正面投影，可以直接求出。水平投影a、b和侧面投影a″、b″可按点从属于线的原理直接求出。截交线的最前C和最后点D是椭圆短轴上的两个端点，它们的正面
投影c′（d′）为a′b′的中点，可C、D两点作辅助水平面Q截s，作出Q面与圆锥轴线产生的截交线（纬圆）的水平投影求得c、d,再由c、d和c′、d′求得c″和d″。Ⅰ、Ⅱ两点是圆锥面前、后两条侧视转向轮廓线与截平面相交的交点，它们的正面投影
1′、2′和侧面投影1″、2″都可直接求出。其水平投影1、2可按点的三面投影关系求得。
（2）求一般点（如点Ⅲ、Ⅳ） 可利蟾ㄖ平面法（图中用辅助水平面R）求出Ⅲ、Ⅳ两点的水平投影3、4和侧面投影3″、4″。
（3）判别可见性 截平面P上面部分圆锥被切掉，截平面左低右高，所以截交线的水平投影和侧面投影均为可见。
（4）连线 将截交蟮乃平投影和侧面投影光滑地连成椭圆，连线时注意曲线的对称性。也可用长轴a b和短轴c
d作椭圆，得截交线的水平投影；用长轴c″d″和短轴
a″b″作椭圆，得截交线的侧面投影。
（5）整理外形轮廓线的侧面投影。
（三）平面与圆球相交
平面与圆球相交，不论截平面处于何种位置，其截交线都是圆。当截平面通过球心时，这时截交线（圆）的直径最大，等于球的直径。截平面离球心越远，截交线圆的直径越小。
由于截平面对投影面位置的不同，截交线（圆）的投影也不<同。截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆（图5-10a、b）；截平面垂直于投影面时，截交线的投影积聚为直线（图5-10c的正面投影）；截平面倾斜于投影面时，截交线的投影为椭圆（图5-10c的水平、侧面投影）。
[例5-6] 求圆球被正<面P截切后的投影（5-10c）。
分析 圆球被正垂面P截切后的截交线（圆），其正面投影积聚不在P
上，为直线段a′b′且等于该圆的直径。截交线（圆）的水平投影和侧面投影均为椭圆。可用面上取点法或辅助平面法作图。
作图步骤（如图5-10c所示）：
（1）
求特殊点（如A、B、C、D、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ） ①先求转向轮廓上的点A和B、Ⅲ和Ⅳ、Ⅴ和Ⅵ。a′和b′、3′和（4）′、5′和（6′）分别是截交线上的正o转向轮廓线、俯视转向轮廓线和侧视转向轮廓线上的点的正面投影，它们的水平投影和侧面投影可按点属于线的原理直接求出。其中，点A是截交线的最低点，也是最左点，点B是最高点也是最右点。②求截交线（圆）的H面投影椭圆、W面投影椭圆的长、段轴。在截交线（圆）的一对垂直相o的共轭直径AB是正平线，其正面投影a′b′的长度等于截交线（圆）的直径，它的侧面投影a″b″和水平投影a
b分别为这两个投影椭圆的短轴。长轴CD和短轴AB互相垂直平分，处为正垂线位置的长轴CD的正面投影c′（d′）积聚在a′b′的中点上，水平投影c
d和侧面投影c″d″可利o纬圆法求得，也可利用c d= c″d″= a′b′直接求得（读者自行分析其原因）。C、D两点分别是截交线发最前点和最后点。
（2）求一般点（如Ⅰ、Ⅱ） 可利用辅助平面法（图中用辅助水平面Q）求出Ⅰ、Ⅱ两点的水平投影1、2和侧面投影1″、2″。
（3）判别可见性 截平面P上面部分球体被切掉，截平面左低右高，所以截交线的水平投影和侧面投影均为可见。
（4）连线 将求得的截交线上点的水平投影和侧面投影光滑连成椭圆，连线时注意曲线的对称性。也可用长轴a b和短轴c
d作椭圆，得截交线的水平投影；用长轴c″d″和短轴a″b″作椭圆，得截交线的侧面投影。
（5）整理外形轮廓线 在水平投影上，球的俯视转向轮廓线的水平投影只画到3、4处，在侧面投影上，球的侧视转向轮廓线的侧面投影只画到5″、6″处。
从上述诸例中可以看出，转向轮廓线上的点是截交线（亦是后面相贯线）上曲线段的转向（改变方向）点，故转向轮廓线因此而得名。
[例5-7] 见图5-11a，画出球筏芯的投影图。
分析 球筏芯的主体为圆球，有一个过球心的圆柱横孔，左右两端被两个侧平面S截成两个侧平圆，且左、右对称，直径相等，球体上部开一前后、左右对称穿通的凹槽，凹槽由两个侧平面P和一个水平面Q组成。两个P面与球的截交线是平行侧面的两段相同的圆弧，其侧面投影重合。Q面与球的截交线为同一圆周上的前后两段对称的水平圆弧，两个P面与Q 面之间的两条交线为正垂线。可以用纬圆法作出凹槽上平面P、Q与球面截交线的侧面投影和水平投影的圆弧。
作图步骤（如图5-11b所示）
（1）作两侧平面S与球的截交线，其正面投影和水平投影均分别积聚为直线，侧面投影反映截交线圆弧的真形。应该注意，由于左、右两侧个被切掉一段球面，作图后，应i去正视转向轮廓线的正面投影和俯视转向轮廓线的水平投影的左、右个一段圆弧，再作出轴线横过球心的圆柱孔的三面投影。
（2）作凹槽两侧平面P与球的截交线，其正面投影积聚在P
上，水平投影积聚成直线，侧面投影反映截交线为圆弧的真形，其半径为R。应该注意，由于球的顶部中间凹槽切掉一段球面，作图后，应擦去球的这一段侧视转向轮廓线的侧面投影。
（3）作凹槽底面（水=面）Q与球的截交线，其水平投影反映为同一圆周上的前后对称的两段圆弧的真形，其半径为R1，正面投影积聚在Q
上，根据这两=投影，可求出侧面投影积聚成可见的同一圆周上的前后对称的两小段粗实直线，其间一段虚线为凹槽底面不可见的有积聚性的侧面投影，也应该画出。
（四）平面与组合回转体相交
组合回转体由若干基本回转体组成。平面与组合回转体相交，则形成组合截交线。作图时首先要分析各部分的曲面性质及其分界线，然后按照它们各自的几何特性确定其截交线的形状，再分别作出。
[例5-8] 图5-12a所示为一顶尖，画出它的投影图。
分析 顶尖由一同轴的圆锥和嘀组成，其上切去的部分可以看成被水平面P和正垂面Q截切而成。平面P与圆锥面的截交线为双曲线，与圆柱面的截交线为两平行直线，它们的水平投影均反映真形，而正面投影和侧面投影分别积聚在P
和P
上。平面Q截切圆柱的范围只截切到P面为止，故与圆r面的截交线是一段椭圆弧，其正面投影积聚在Q
上，侧面投影积聚在圆柱的侧面投影上，而水平投影为椭圆弧但不反映真形。所以，顶尖上的整个截交线是由双曲线、两平行直线和椭圆弧组成的。作图时，对截交线为两平行直线的部分，可利用圆柱投影的积聚性直接求得，而截交线为双曲线和椭圆弧的部分，则需要运用辅助平面法或面上取点线法进行作图。
作图步骤（如图5-12b所示）：
（1）画出组成顶尖主体（圆锥、圆柱）的三面投影图
（2）画出三段截交线的分界点 先求出双曲线与矩形、矩形与椭圆的分界点B、C和E、D的正面投影b′、（c′）和e′、（d′），再求其侧面投影b″、c″和（e″）、（d″），最后求其水平投影b、c和e、d。
（3）画左边双曲线的投影 求特殊点：双蜗叩亩サ鉇和末端两点B和C（即为中间截交线为两平行直线左边两端点）。先在正面投影上确定a′,然后求得它的其它两个投影
a、a″。再求一般点，如Ⅰ和Ⅱ两点，可用辅助侧平面R求得。用曲线光滑地连接各点，即得双曲线的水平投影，其正面投影和侧面投影分别积聚在P
和P
上。
（4）画右边椭圆弧的投影 先求特殊点F、E和D（中间截交线为两平行直线右边两端点），即先在正面投影上确定f′，就可求得它的其它两个投影f、f″。再求一般点，如Ⅲ和Ⅳ两点，可根据其截交线的正面投影和侧面投影有积聚性，定出3′、4′和3″、4″，再求得水平投影3、4。用曲线光滑地连接各点，即得椭圆弧的水平投影，其正面投影积聚在Qv上，侧面投影积聚在圆柱的侧面投影上。
（5）画中间直线部分的投影 将b和e、c和d相连成粗实线（即为P面与圆柱面截切的截交线为两平行直线的水平投影），其正面投影积聚在P
上，侧面投影积聚在P
上，将d和e相连成粗实线（两截平面P、Q交线的水平投影），b和c改画成虚线（下半部圆锥和圆柱同轴相贯的交线不可见圆弧线段的投影），即得这段不可见相贯线的水平投影。其正面投影积聚成直线，侧面投影积聚在有积聚性的圆柱的侧面投影（圆）上。
